引言
2020年11月3日美國進行了第59屆總統選舉。此次選舉，選民情緒對立，兩黨票數爭持，出現了歷來最激烈的選後爭議，持續逾月，未能平息。12月14日，各州委任的選舉人進行投票，最終，民主黨拜登獲得306張選舉人票（沒有失信選舉人），確定為當選人。共和黨川普（特朗普）及其部分支持者仍然堅持選舉被大量舞弊盜竊。聯邦和51個州的選舉管理機構和各級公檢法機構均未發現任何足以影響選舉結果的舞弊的證據，未有任何人因涉嫌重大舞弊行為被拘捕。
在民主法治國家，經由公檢法體制依法確定是選舉舞弊存在與否的唯一的金標準。選民的投票行為以及倘有的舞弊行為，亦會在選舉數據上留下印跡。本文嘗試對選票數據進行基本的空間和人間分佈分析，尋找選舉勝負關鍵所在、選民投票行為的模式，以及倘有的舞弊行為的線索。
一、輸在哪里？
1) 得票率分佈
筆者從選票的空間分佈著手，去尋找輸在哪里這問題的答案。
美國是合眾國，由51個州組成。 兩黨在各州得票率有很大的差異，民主黨拜登得票率範圍是26.6%~92.1%，共和黨川普則是5.4%~69.9%。若將兩黨州得票率以頻數分佈圖（圖1、圖2）表示，則見模式大同小異。
除哥倫比亞特區（首都）獨自離群外，其餘50個州，兩黨分佈模式相當類似：圖形寬度、標準差相同（必然的，因兩黨得票率是幾乎互補的關係）；圖形平均高度相若，沒有明顯的左右偏，中位數極接近，反映兩黨按優劣州數而言勢均力敵；明顯接近正態分佈，但不完美，較胖，似有雙峰。
本節重點發現：兩黨分佈模式相似、勢均力敵。
本節疑問：何以首都遠離主群？何以呈不完美正態分佈？幾個反映集中趨勢的統計值出現了一個數字戲法：兩黨得票率中位數極接近算和，算術平均值川普勝，全國合計則拜登顯勝，何解？
2) 大小州、紅藍州
州得票率中位數或算術平均，與全國合計得票率之間的差距，是由於各州大小（指人口／選民規模，以選票總數代表，非指地域面積）不齊一，而且，規模大小與兩黨得票率高低關聯。
因此，必需將大小列入分析。在以下分析中，按本次總統選舉中選票總數是否大於300萬區分為大州和小州。此界限只是在較接近中位數處任意選擇的整數，不具規範意義。
不完美的正態分佈可能提示數據並非屬於同一母體，而是由多種不同成分組成，除大小外，首先考慮紅藍的差異。紅藍（既有政治偏向）的事實在美國早被公認，相信是地理、物候、歷史、生活方式、政治傳統、社會意識等多項因素的綜合結果。
為將紅藍列入分析，採用綜合指數，此前四屆總統選舉兩黨勝負佔4分，現任州長黨籍佔1分，過半歸邊。考慮到當權黨派可能在影響選舉方面具有優勢，故嘗試單純按州長黨籍區分作驗證，發現在所有兩者不一致的州，結果均與綜合指數相符，均與州長黨籍不符。
將大小紅藍交叉為四組，重看得票率分佈，顯見差異（圖1A、圖2A）。哥倫比亞特區（首都）居民背景特殊、意向鮮明，與其他50州有顯著差異，其實可獨自做第五組，也值得認真深入理解，但在此，為簡便由它留在藍小州組。四組中，拜登得票率順序為：藍小＞藍大＞紅大＞紅小；川普則正相反：紅小＞紅大＞藍大＞藍小。藍州之間大小的差異看來較小；紅州之間大小的差異看來較大。
表1以列出大小紅藍交叉組合的得票率和勝算統計值，從中可以更清楚地看到紅藍格局：紅藍並非絕對，紅中有藍，藍中有紅，大概是互為六四的關係；整體而言，紅藍勢力相當，分庭抗禮，但並非完全等同，近年的格局中，藍方稍佔優；紅方小州多，大州少；藍方小州少，大州多（相信非因偶然，而是紅藍與大小之間存在本質關聯）；紅州較多，但按人口和選舉人票分佈，全取紅州不足以勝選；藍州較少，全取藍州足以勝選。
除大小和紅藍外，嘗試檢視郵寄選票的影響。全部州均有接受郵寄選票，只是條件和做法可有不同。筆者沒有取得各州郵寄選票數量和比重的資料，所以未能就此與選舉結果的關係作量化分析。關於郵寄選票，主要的爭議是部分州被指郵寄系統不完善，未能完全確保選舉安全，因而有招致舞弊的疑慮。就此，將有無郵寄疑慮、紅藍、大小交叉分組比較（表2），有趣的發現是，在整體、紅小州、紅大州和藍大州，有郵寄疑慮都與川普得票率增加、拜登得票率下降關聯；僅藍小州例外。此現象明顯不支持郵寄系統不完善導致拜登勝選的假設，所以，沒有將此變量列入進一步的分析。
本節重點發現：大小州之間明顯差異；紅藍州之間明顯差異；紅中有藍，藍中有紅；大小紅藍兩者相關；現格局中藍方稍佔優；郵寄不善似有利於川普。
本節疑問：何以川普未能全取紅大州？
3) 關鍵州
表1其實已展示本次總統選舉的勝負關鍵：紅藍小州偏向較明顯，各自歸邊，全無例外（大多數小州兩方差距顯著，相當難以改變，同時在全國而言權數較小，因而並非整體勝負關鍵）；拜登以近六四比的優勢全取藍大州；川普未能全取紅大州，失落其中兩個：AZ亞利桑納和GA喬治亞；川普如要勝選，除必須全取紅大州外，還須多取至少兩個藍大州，最接近的是WI威斯康辛和PA賓夕法尼亞。
在紅藍格局中，勝負的關鍵不在於偏向明顯的州，而在於接近50%線的幾個大州（所以又稱為搖擺州） （圖3、圖4）。前述四州無疑是本次選舉勝負關鍵，為方便比較，將四州以外最接近50%線的兩個紅大州（NC北卡羅來納、FL佛羅里達）和兩個藍大州（MI密歇根、MN明尼蘇達）作為對照列入分析（表3）。內華達州兩黨得票率也很接近，只差2.4%，但因是小州，無關大局，故不列入分析。
在關鍵四州，兩方的得票率非常接近，相差僅0.2%~1.2%，勝票數僅1萬餘至8萬餘，四州合計也不過12萬餘。可以說，整個選舉勝負最終是由此12萬餘票決定，所以，爭議難免。在對照四州，川普NC勝7萬票、FL勝37萬票，拜登MI勝15萬票、MN勝23萬票，假如要在後兩州爭議和翻盤，可能性又要比關鍵四州更微小很多。
本節重點發現：拜登全取藍小州和藍大州；川普全取紅小州，但失落兩個紅大州AZ和GA；川普如要勝選，必須取回AZ和GA，並勝出至少兩個藍大州，最可能的是PA和WI；AZ, GA, PA, WI四州因最接近中線，成為決定本次選舉勝負的關鍵。
本節疑問：川普如何失去四州？
4) 關鍵縣
兩紅兩藍的關鍵四州是如何失去的？
紅藍州客觀和持續存在，但如以為紅州就是全紅、藍州就是全藍，是重大的誤解。從四州縣選結果圖（圖5），可見全是紅多藍少，紅方勝縣數較多、所佔面積明顯較大。然則，何以紅方反輸？
原因在於，關鍵四州各縣人口／選民人數相當不均衡。四州的模式一致（圖6）：川普在大多數縣勝出，包括幾乎全部小縣（指人口不多的縣，以選票總數推知）；拜登只在少數縣勝出，但囊括所有大縣（指人口多的縣，各州行政區劃方式不一，數量界限很可能不一致，但四州剛好可以總選票數是否高於30萬劃界），結果反勝。
因此，可以說，整個總統選舉，川普其實不是輸在四個關鍵州，而是輸在14個關鍵縣（AZ2, GA4, PA6, WI2）。如要深入探查選民的意向又或追查倘有的舞弊，可首先和重點在這14個關鍵縣進行。
為在全國範圍內對紅縣和藍縣作量化比較，簡單地以此次選舉中川普或拜登勝出區分紅藍縣。此界定不完全準確，但相信誤差較小，不影響整體分析。
如表4所示，紅藍縣的分佈規律在關鍵州和對照州相同：紅縣多而小、藍縣少而大；全部縣中，紅縣佔大多數；最大的10%縣中，藍縣反佔多數；在四關鍵州，藍方勝出62個縣，其中最有利的27個縣，已足以抵銷紅方勝出的全部251個縣得到的勝票數。
表5和表6展示紅藍縣在全國的分佈規律：紅縣多、面積大、人口少：紅縣數佔82%。多數州地圖上以紅色為主，僅少數以藍色為主；藍縣少、面積小、人口多：藍縣數佔18%。多數州的第一大縣為藍色，僅少數為紅色；不論具體數量，亦不論紅小州、紅大州、藍大州、藍小州分類，藍縣的平均選票總數和平均勝票數，都比紅縣高數倍（全國平均為6.9倍和6.4倍）。
如表7所示，全國縣的紅藍分佈符合二八定律（關鍵少數法則）。四關鍵州狀況與全國規律相合，未見顯著差異。
本節重點發現：川普失去四州的模式一致：勝出多數小縣，負於少數大縣；四州的14個縣成為決定全局勝負的關鍵；全國範圍內存在一致的紅藍縣分佈規律，並符合二八定律。
本節疑問：紅縣多而小、藍縣少而大的原因和意義為何？
就輸在哪里的問題，經由選票的空間分佈分析，得出三個不同層次的答案：第一層，輸在四關鍵州；第二層，輸在四關鍵州的14關鍵縣；第三層，輸在二八定律（關鍵少數法則）：全局的勝負約在最大的10%~15%縣中已確定，紅方穩勝非關鍵多數，但失落關鍵少數，故負。
二、因誰而輸？
1) 與州長選舉比較
以下，筆者從比較同時進行的四項選舉著手，去尋找因誰而輸這問題的答案。
在總統選舉的同時，有11個州進行州長改選。州長選舉中共和黨明顯佔優，8勝3負，總得票1069萬餘（52.4%），較民主黨多169萬餘票。
11州總統選舉與州長選舉比較（表8、表9），可見：總選票數相近，總統選舉多16萬餘票（0.8%）；民主黨總統選舉得票明顯增多7.4%，共和黨則減少2.2%，來回差距90萬餘票；民主黨在3個紅州見淨選票流失；共和黨則在3個藍州和2個紅州淨流失；11州共和黨7勝4負，比州長選舉少勝1州。
四關鍵州沒有進行州長選舉。
本節重點發現：州長選舉，共和黨佔優；相對於州長選舉，川普流入選票少，流失選票多，合計淨流失；拜登流入選票多，流失選票少，合計淨流入；拜登只在紅州見淨流失，川普在紅藍州都有。
本節疑問：流失的選票到哪去？流入的選票從何來？
2) 與參議院選舉比較
在總統選舉的同時，有34個州進行參議院議席改選（GA有多一個特別議席選舉，因選民總體相同，而投票率略低，在此未列入計算）。參議院選舉中，共和黨佔優，20勝14負，得票4164萬餘（49.4%），較民主黨多174萬餘票。
34州總統選舉與參議院選舉比較（表10、表11），可見：
總選票數相近，總統選舉多117萬餘票（1.4%）； 民主黨總統選舉得票增多4.3%，共和黨增多1.6%，差距104萬餘票；民主黨在8個紅州和3個藍州見淨選票流失；共和黨則在9個紅州和3個藍州淨流失；34州共和黨19勝15負，較參議院選舉少勝1州。
四關鍵州有兩個進行參議院選舉。AZ是紅州；參議院選舉中，民主黨參選人得票51.2%勝；拜登得票減少，川普得票增加，拜登仍險勝；拜登失票率高於其他紅大州。GA是紅州；參議院選舉中，共和黨參選人得票49.7%險勝；拜登得票增加，川普得票減少，拜登逆轉勝；選票增減率與其他紅大州比較不極端。
本節重點發現：參議院選舉，共和黨佔優；雙方均有淨流入，但川普流入較少，流失較多，合計淨流入較少；雙方均有在藍州淨流失，川普在紅州淨流失比拜登多；GA拜登淨流入，川普淨流失，勝負逆轉。
本節疑問：流失的選票到哪去？流入的選票從何來？
3) 與眾議院選舉比較
在總統選舉的同時，除哥倫比亞特區（首都）外的50個州同時進行眾議院議席改選。眾議院選舉中民主黨佔優，435個議席中222勝（51.0%），213負。
若按各州總得票（在6州有7選區因自動當選而無選票數，就此，作了粗略的估計和調整，採各州最小選區的選票數，按八二比分配給勝負雙方，以減少對分析的影響）計算，民主黨21勝29負，得票7765萬餘（50.7%），較共和黨多445萬餘票。
50州總統選舉與眾議院選舉比較（表12、表13），可見：總選票數相近，總統選舉多504萬餘票（3.3%）；民主黨總統選舉得票增多4.3%，共和黨增多1.4%，差距230萬餘票；民主黨在4個紅州和3個藍州見淨選票流失；共和黨則在19個紅州和7個藍州淨流失；50州共和黨25勝25負，較眾議院選舉少勝4州（就是四關鍵州）。
正好是四關鍵州均出現了兩選結果逆轉的情況。紅州AZ，眾議院選舉共和黨險勝；拜登得票增加多於川普得票增加而反勝。紅州GA、藍州PA和WI，眾議院選舉共和黨勝；拜登得票增加，川普得票減少，因而反勝。四關鍵州選票增減率與其他州比較均不極端。
本節重點發現：眾議院選舉，民主黨佔優；雙方均有淨流入，但川普流入較少，流失較多，合計淨流入較少；川普在紅州和藍州淨流失都比拜登多；四關鍵州拜登淨流入，川普三州淨流失一州淨流入較少，勝負逆轉。
本節疑問：流失的選票到哪去？流入的選票從何來？
四選比較，可見總選票數相近，由少至多次序是眾議院＜參議院＜州長＜總統。兩黨得票數次序與此略有差異，民主黨是州長＜參議院＜眾議院＜總統，即拜登得票比三選黨友都要高；而共和黨是參議院＜眾議院＜總統＜州長，即共和黨在州長選舉中大勝，但川普得票低於州長黨友。
四選得票數變動規律：兩黨四選得票數都有互為增減的情況；拜登相對三選都有淨流入；川普相對州長選舉有淨流失，其餘兩選有淨流入，但顯著少於拜登；川普在更多的州有更嚴重的淨流失，尤其包括許多紅州；四關鍵州的變動並不極端，只是雙方十分接近，因而出現逆轉結果。
4) 川粉、川黑
以下嘗試從選票數據分析探討川粉（Trump fans）與川黑（Trump haters）的現象。筆者理解，粉、黑是比較極端化的支持、不支持。粉黑的存在和影響來自對選舉全過程多方面社會現象的綜合評估，選票所載只是支持不支持的信息，無法區分極端化與否，不能證明或否證粉黑的存在和影響。對選票數據的統計分析能夠發現支持不支持特別集中的地方，也能夠發現支持不支持流動的淨值，但不能夠發現流動的全體，因為相反方向的流動在統計中互相抵消。以上述統計，作為探討粉黑現象的最簡易和粗糙的替代指標（proxy indicators），其數值不具有精確的實質含義，只是方便在初步分析中通過互相比對提供大體相互關係的感知。
有認為本次總統選舉，並非兩黨對決，而是川粉與川黑的對決。然則，川粉是誰？川黑是誰？他們在哪里？筆者嘗試在選票數據的變動與不變中，尋找川粉和川黑的蹤跡。
首先，界定非流動的川粉和川黑，稱之為「鐵紅」和「鐵藍」，指的是在所有選舉中分別地恆定支持共和黨和民主黨者。鐵紅、鐵藍選民無疑在全國所有地方均存在。為尋找鐵紅、鐵藍選民特別集中的地方，任意地採用了如下標準：在州的水平，2020年四選（倘有）紅／藍方平均得票率>60%；在縣的水平，2020年總統選舉紅／藍方得票率>70%（表14）。
如此，全國找出13個鐵紅州和7個鐵藍州；合理的是鐵紅州都是紅州，鐵藍州都是藍州；奇怪的是只有一個紅大州達到鐵紅的標準；鐵紅州數目較多，但人口規模較小；鐵藍州較少，但較大，平均總統選票總數是鐵紅州的3.6倍；民主黨在7個鐵藍州獲得的選票優勢，比共和黨在13個鐵紅州獲得的，多537萬餘票，佔全國勝票數的76%。
全國找出1427個鐵紅縣、88個鐵藍縣；紅州中有鐵藍縣，藍州中有鐵紅縣；鐵紅縣數目較多，但規模較小；鐵藍縣較少，但較大，平均總統選票總數是鐵紅縣的24倍；民主黨在88個鐵藍縣獲得的選票優勢，比共和黨在1427個鐵紅縣獲得的，多448萬餘票，佔全國勝票數的63%。
上述州縣只是鐵紅、鐵藍選民比較集中分佈的地方。從以上數量關係可以合理地相信，在全國範圍，鐵紅、鐵藍選民構成選舉形勢的主體。在此形勢中，藍方明顯佔優。
四關鍵州均非鐵紅州，亦非鐵藍州；四州都有鐵紅縣，共93個；AZ外的三州有鐵藍縣，共8個；上述鐵藍縣同樣較大，平均總統選票總數是上述鐵紅縣的15倍；民主黨在8個鐵藍縣獲得的選票優勢，比共和黨在93個鐵紅縣獲得的，多36萬餘票。
以下嘗試尋找流動的川粉和川黑（的淨值）。將總統選舉與三選（眾議院／參議院／州長選舉）平均比較，可發現如下三類川粉和川黑：1)「就是川黑」／ 「就是川粉」：三選不投票或投了兩黨以外其他人，總統選舉投拜登／川普；2)「分裂川黑」／ 「分裂川粉」：三選投共和黨／民主黨，總統選舉投對黨；3)「撒手川黑」／ 「撒手川粉」：三選投共和黨／民主黨，總統選舉不投票或投了兩黨以外其他人。
如表15所示，流動川粉和川黑的分佈相當廣泛；全國流動川黑358萬餘，顯著多於流動川粉的165萬餘；三種川黑按多少排序，就是川黑最多284萬餘，分裂川黑其次56萬餘，撒手川黑較少16萬餘；意外的是，紅州的流動川黑顯著多於藍州，而藍州的流動川粉顯著多於紅州；全國流動川黑比流動川粉多192萬餘，佔總選票數的1.2%，總勝票數的28.5%，非選票主體，但足以在形勢相近的關鍵州逆轉勝負。
四關鍵州中，GA, WI, PA三州均見流動川黑淨值顯著大於勝票數，因而可以說，決定了勝負。因是大州，三州流動川黑淨值均有相當數量，但佔總選票數的比例不高於其他州，故並非川黑票特別多，而是兩黨形勢特別接近，勝票數特別少。AZ是紅州，參議院選舉則由民主黨人勝出，總統選舉中見部分選票回流給川普，只是未足夠反勝。
本節重點發現：可界定非流動和流動川粉／川黑共四類，每一類別川黑都顯著多於川粉；鐵紅、鐵藍選民數量較多，構成選舉形勢主體；流動川粉／川黑淨值數量較少，非形勢主體，但在接近的州足以決定勝負；四關鍵州就是如此。
本節疑問：為何在所有類別，川黑都顯著多於川粉？為何而粉？為何而黑？
就因誰而輸的問題，經由比較四選選票數據，可以說是成於粉、敗於黑。在非流動和流動共四組分類統計中，川黑均恆定地顯著多於川粉。非流動川黑和川粉，主要應源於長期因素，反映現格局偏向民主黨。流動川黑和川粉，主要應源於短中期因素，尤其包括川普本人的影響。在水面上看到的是，全局的勝負由少數關鍵州／關鍵縣的流動川黑淨值決定。在水面以下的實質是，在偏藍的格局中，全國尤其包括相當多紅州、鐵紅州、共和黨明星大勝州長／參議院／眾議院選舉的地方，有大量的流動川黑。關鍵州只是剛好在界面上。
討論
1)舞弊印跡
選票數據中未發現重大舞弊行為的任何印跡。數據明確提示存在紅藍、大小、流動等規律。全美51州3153縣，各自不同，選舉結果參差紛紜，但上述多重規律貫串其中，成為渾然一體。
四關鍵州未見任何極端情況：四州剛好在界面上，除兩黨形勢最接近之外，所有情況都比較中間；數據不支持四關鍵州川普原本大勝的假設，因若如此，反而會使全國的規律和分佈明顯斷裂；公檢法部門對四州14關鍵縣作重點查證便可定論。
2)紅藍規律
紅藍客觀存在。紅藍與大小相關。紅中有藍、藍中有紅，真實的情況是紅總統－藍州長－紅縣長－藍議員－紅公務員－藍選民，或相反；又或基層政府、選管機關、公檢法機關等的人員，傳媒、民間社團、鄰舍等，六紅四藍，或六藍四紅。非流動的紅藍佔選民多數，構成格局主體；流動的紅藍佔選民少數，但決定選舉勝負。
3)大小規律
大小與紅藍相關。全國縣區在選民分佈、紅藍形勢、選舉結果等方面符合二八定律（關鍵少數法則）。
為使選舉分析、民意調查、政治動員等工作更精準有效，筆者認為可採用「全國關鍵縣策略」，作為傳統的全國／州群／州／搖擺州策略的補充。經試算比較，建議將全國最大的10%縣作為全國關鍵縣（表16），共315縣，選民總數約佔全國66%。
4)粉黑規律
粉、黑是比較極端化的支持、不支持。極端化、排他、敵意的政治力量更傾向於出現顯著的粉黑現象，中庸、兼容、善意的較不。粉黑是一物兩面，有粉就有黑，成於粉、敗於黑。粉黑的終極基礎仍然是人的需要，粉黑的相對強度，最終取決於政治力量所伸張的需要與所敵對的需要，對不同選民而言的相對價值。
5)多重需要規律
國家和國民整體存在多重而非單一的需要。多重需要之間不可能一致，多數情況下會互相衝突，有時是直接相反。不同的選民就不同的需要，賦予不同的相對價值，由此而形成各種政治上支持和不支持群體。紅藍是美國國民多重需要在政治上的體現。
6)共生規律
對國家和國民整體而言，多重需要雖互相衝突甚至相反，卻都是必要的，不同需要之間不能互相消滅或互相替代，必須共存。即使在個體，大體上同樣是多重需要共存，只是各人所感知的相對價值不同。尋求消滅不同的需要，或消滅有不同需要的人，並非真實可行的答案。
筆者無條件具體論述美國國民的多重需要，但以一個簡單化和浪漫化的聯想作結：紅藍相應於美國全國範圍內緊密共存的兩種主流生活方式和需要，兩者共生而非仇敵，亦無法完全互相取代。
兩種主流生活方式和需要，一種與國家首都，以及人口很多、居住密度很高的地方相關。通常就是經濟、政治、社會、文化、交通的中心，國內和國際交往密切的地方。筆者簡單化地聯想到一個關鍵詞：「全球化」。另一種與地域較大、人口較少、居住密度較低的地方相關。筆者浪漫化地聯想到一個關鍵詞：「守一方水土」。
全球化與守一方水土，兩者在很大程度上互相抵觸。全球化大大改變了人類的生活方式，無疑促生和加重了很多重大問題。然而，全球化問題的答案，必然是更多、更廣、更強的全球化。回到過去、守一方水土不是可能的答案。尋求矛盾雙方共存，「在更好的全球化的同時，更好地守一方水土」，也許是現階段較佳的政治建構。